Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка. 1) $x^{3} y +x^{2} y=1$
2) $yy+ (y)^{2}=0, y(0)=1, y(0)=1$

Ответ:

вадимм2

15.10.2020 13:18

$1)\ \ x^3\cdot y''+x^2\cdot y'=1\\\\y'=z(x)\ \ ,\ \ y''=z'(x)\\\\x^3\cdot z'+x^2\cdot z=1\ \ ,\ \ \ z'+\dfrac{z}{x}=\dfrac{1}{x^3}\ \ ,\ \ \ z=uv\ ,\ z'=u'vz=uv'\ \ ,\\\\u'v+uv'+\dfrac{uv}{x}=\dfrac{1}{x^3}\ \ ,\ \ \ u'v+u\, (v'+\dfrac{v}{x})=\dfrac{1}{x^3}\ \ ,\\\\a)\ \ \dfrac{dv}{dx}=-\dfrac{v}{x}\ \ ,\ \ \int \dfrac{dv}{v}=-\int \dfrac{dx}{x}\ \ ,\ \ ln|v|=-ln|x|\ \ ,\ \ v=\dfrac{1}{x}$

$b)\ \ \dfrac{du}{dx}\cdot \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x^3}\ \ ,\ \ \int du=\int \dfrac{dx}{x^2}\ \ ,\ \ u=-\dfrac{1}{x}+C_1\\\\c)\ \ z=\dfrac{1}{x}\cdot (-\dfrac{1}{x}+C_1)=-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{C_1}{x}\\\\d)\ \ y'=-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{C_1}{x}\ \ ,\ \ \int dy=\int (-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{C_1}{x})\, dx\ \ ,\\\\y=\dfrac{1}{x}+C_1\cdot ln|x|+C_2$

$2)\ \ y\cdot y''+(y')^2=0\ \ ,\ \ y(0)=1\ ,\ y'(0)=1\\\\y'=p(y)\ \ ,\ \ y''=\dfrac{dp}{dy}\cdot p\\\\y\cdot \dfrac{dp}{dy}\cdot p+p^2=0\ \ ,\ \ \dfrac{dp}{dy}\cdot yp=-p^2\ \ \int \dfrac{dp}{p}=-\int \dfrac{dy}{y}\ \ ,\\\\ln|p|=-ln|y|+lnC_1\ \ ,\ \ \ p=\dfrac{C_1}{y}\ \ ,\ \ y'=\dfrac{C_1}{y}\ \ ,\\\\y'(0)=1\ ,\ y(0)=1:\ \ 1=\dfrac{C_1}{1}\ \ \to \ \ C_1=1\\\\y'=\dfrac{1}{y}\ \ ,\ \ \int y\cdot dy=\int dx\ ,\\\\\dfrac{y^2}{2}=x+C_2\ \ ,\ \ y^2=2\, (x+C_2)\ \ ,$

$y(0)=1:\ \ 1=2(0+C_2)\ \ \to \ \ C_2=\dfrac{1}{2}\\\\y^2=2\, (x+\dfrac{1}{2})\ \ ,\ \ \ \underline {\ y^2=2x+1\ }$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

matveydayp0cd3p

14.10.2021 01:54

Найдите значение выражения 3^-11*7^-12: 21^-12...

topovychuvak

14.10.2021 01:54

Выражение и найдите его значение: 1) 6x(6x - 4) + 9x(3 - 4x) если x= 7 2) 2m(m - n) - n(3m-n) - n(n+6) если m= - 4, n = 0,5....

Ateśbogegi

25.01.2023 02:33

ть будьласка.Розвяжіть систему рівняня 7(x+3)=3y+1 ,4(2-x) =5(y+1)+1...

кристина2161

03.02.2021 21:04

Выясните, имеет ли решение система и сколько: {3х + 5у = 2 {6х + 10у = 4...

дианка204

03.05.2022 02:52

Доведіть що число 27³+3⁷ ділиться на 10...

Zenya1111

27.06.2020 21:04

Самостоятельная работа по теме « Линейная функция y = kx».1. Постройте график линейной функции y = 3x.Найдите по графику:а) значение функции при x = -2; 1; 1,5;б) значение...

damirsemenov2

01.04.2020 13:50

Реши уравнение: |x + 2| + |x − 1| = 10 Народ...

Kryuchochek02

22.01.2023 13:04

Решите уравнение через дискриминант x^2+4x+4=0...

tim2424

15.07.2020 03:04

Две швеи работая вместе выполнят полученный заказ за 6 дней. за сколько дней каждая из них работая отдельно, могла бы выполнить заказ,если одной потребуется на 5 дней больше,...

VaLerusyaK

15.07.2020 03:04

Решить систему уравнений: x - y =1 x^2 - y = 3...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку