Батарея, состоящая из 10 орудий, ведет огонь по 15 кораблям неприятеля. Найти вероятность того, что все орудия стреляют: а) по одной цели; б) по разным целям
а) Чтобы все орудия стреляли по одной цели, каждое орудие должно выбрать одну и ту же цель из 15 доступных. Вероятность того, что первое орудие выберет одну цель из 15, равна 15/15, так как у него нет ограничений на выбор.
Для второго орудия вероятность выбрать одну цель из оставшихся 14 будет 14/15, так как оно уже не может выбрать ту цель, на которую уже стреляло первое орудие.
Аналогично, для третьего орудия вероятность выбрать одну цель из оставшихся 13 будет 13/15, для четвертого - 12/15, и так далее, пока не останутся только 5 орудий.
Чтобы найти вероятность того, что все орудия стрелят по одной цели, необходимо перемножить все эти вероятности:
P(все орудия стреляют по одной цели) = (15/15) * (14/15) * (13/15) * (12/15) * ... * (6/15)
Далее, чтобы упростить эту формулу и произведение, можно заметить, что в числителе каждого слагаемого данного произведения фигурируют числа от 15 до 6, поэтому можно использовать факториал.
Факториал числа n обозначается как n!, и он равен произведению всех положительных целых чисел от 1 до n.
Тогда наша формула примет вид:
P(все орудия стреляют по одной цели) = 15!/[(15-10)! * 15^10] = (15*14*13*12*11*10*9*8*7*6)/(15^10)
b) Чтобы все орудия стреляли по разным целям, каждое орудие должно выбрать свою цель из 15 доступных. Вероятность выбора цели каждым орудием будет постепенно уменьшаться, аналогично предыдущему случаю.
Но на этот раз закончив свое действие одно орудие, оставшиеся орудия уже не могут выбрать уже выбранную цель.
Вероятность выбора цели первым орудием из 15 будет 15/15.
Для второго орудия вероятность выбора цели из оставшихся 14 будет 14/15.
Для третьего орудия вероятность выбора цели из оставшихся 13 будет 13/15.
И так далее, продолжая до последнего, 10-го орудия, вероятность его выбора цели будет 6/15.
Таким образом, чтобы найти вероятность того, что все орудия стреляют по разным целям, снова нужно перемножить все эти вероятности:
P(все орудия стреляют по разным целям) = (15/15) * (14/15) * (13/15) * (12/15) * ... * (6/15)
Также, можно заметить, что данная формула имеет то же самое выражение, что и формула для задания а).
Итак, вероятность того, что все орудия стрелят по разным целям, также равна:
P(все орудия стреляют по разным целям) = (15*14*13*12*11*10*9*8*7*6)/(15^10)
Надеюсь, это пояснение перспективы школьного учителя помогло вам понять решение данной задачи! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.
а) Чтобы все орудия стреляли по одной цели, каждое орудие должно выбрать одну и ту же цель из 15 доступных. Вероятность того, что первое орудие выберет одну цель из 15, равна 15/15, так как у него нет ограничений на выбор.
Для второго орудия вероятность выбрать одну цель из оставшихся 14 будет 14/15, так как оно уже не может выбрать ту цель, на которую уже стреляло первое орудие.
Аналогично, для третьего орудия вероятность выбрать одну цель из оставшихся 13 будет 13/15, для четвертого - 12/15, и так далее, пока не останутся только 5 орудий.
Чтобы найти вероятность того, что все орудия стрелят по одной цели, необходимо перемножить все эти вероятности:
P(все орудия стреляют по одной цели) = (15/15) * (14/15) * (13/15) * (12/15) * ... * (6/15)
Далее, чтобы упростить эту формулу и произведение, можно заметить, что в числителе каждого слагаемого данного произведения фигурируют числа от 15 до 6, поэтому можно использовать факториал.
Факториал числа n обозначается как n!, и он равен произведению всех положительных целых чисел от 1 до n.
Тогда наша формула примет вид:
P(все орудия стреляют по одной цели) = 15!/[(15-10)! * 15^10] = (15*14*13*12*11*10*9*8*7*6)/(15^10)
b) Чтобы все орудия стреляли по разным целям, каждое орудие должно выбрать свою цель из 15 доступных. Вероятность выбора цели каждым орудием будет постепенно уменьшаться, аналогично предыдущему случаю.
Но на этот раз закончив свое действие одно орудие, оставшиеся орудия уже не могут выбрать уже выбранную цель.
Вероятность выбора цели первым орудием из 15 будет 15/15.
Для второго орудия вероятность выбора цели из оставшихся 14 будет 14/15.
Для третьего орудия вероятность выбора цели из оставшихся 13 будет 13/15.
И так далее, продолжая до последнего, 10-го орудия, вероятность его выбора цели будет 6/15.
Таким образом, чтобы найти вероятность того, что все орудия стреляют по разным целям, снова нужно перемножить все эти вероятности:
P(все орудия стреляют по разным целям) = (15/15) * (14/15) * (13/15) * (12/15) * ... * (6/15)
Также, можно заметить, что данная формула имеет то же самое выражение, что и формула для задания а).
Итак, вероятность того, что все орудия стрелят по разным целям, также равна:
P(все орудия стреляют по разным целям) = (15*14*13*12*11*10*9*8*7*6)/(15^10)
Надеюсь, это пояснение перспективы школьного учителя помогло вам понять решение данной задачи! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.