Для вычисления наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке, нам потребуется найти критические точки функции внутри этого интервала и сравнить значения функции в этих точках с концами отрезка.
Шаг 1: Найдем производную функции y=x^3+3x^2−45x−3. Для этого применим правило дифференцирования для каждого элемента функции по отдельности:
y'=(3x^2+6x-45).
Шаг 2: Решим уравнение y'=0, чтобы найти критические точки функции. Для этого приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
3x^2+6x-45=0.
Данное уравнение является квадратным, поэтому мы можем воспользоваться формулой дискриминанта для его решения:
D=(6)^2-4(3)(-45)=36+540=576.
D>0, поэтому у уравнения есть два корня:
x1=(-6+24)/6=3,
x2=(-6-24)/6=-5.
Шаг 3: Подставим найденные критические точки и концы отрезка в исходную функцию, чтобы найти значения функции в этих точках:
Шаг 4: Сравним найденные значения функции и выберем наименьшее и наибольшее значение:
Yнаим=наименьшее значение функции,
Yнаиб=наибольшее значение функции.
Исходя из полученных значений, наименьшим значением функции будет -84 (Yнаим=-84), а наибольшим значением функции будет 341 (Yнаиб=341) на отрезке [−6;8].
Шаг 1: Найдем производную функции y=x^3+3x^2−45x−3. Для этого применим правило дифференцирования для каждого элемента функции по отдельности:
y'=(3x^2+6x-45).
Шаг 2: Решим уравнение y'=0, чтобы найти критические точки функции. Для этого приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
3x^2+6x-45=0.
Данное уравнение является квадратным, поэтому мы можем воспользоваться формулой дискриминанта для его решения:
D=(6)^2-4(3)(-45)=36+540=576.
D>0, поэтому у уравнения есть два корня:
x1=(-6+24)/6=3,
x2=(-6-24)/6=-5.
Шаг 3: Подставим найденные критические точки и концы отрезка в исходную функцию, чтобы найти значения функции в этих точках:
y(-6)=(-6)^3+3(-6)^2−45(-6)−3=-216+108+270-3=-216+108+267=159,
y(-5)=(-5)^3+3(-5)^2−45(-5)−3=-125+75+225-3=-125+75+222=172,
y(3)=(3)^3+3(3)^2−45(3)−3=27+27-135-3=27+27-138=-84,
y(8)=(8)^3+3(8)^2−45(8)−3=512+192-360-3=512+192-363=341.
Шаг 4: Сравним найденные значения функции и выберем наименьшее и наибольшее значение:
Yнаим=наименьшее значение функции,
Yнаиб=наибольшее значение функции.
Исходя из полученных значений, наименьшим значением функции будет -84 (Yнаим=-84), а наибольшим значением функции будет 341 (Yнаиб=341) на отрезке [−6;8].