Дана функция f(x) = x^3, определённая на всей числовой прямой.
Выберите среди предложенных свойств функции f(x) верные.
1 эта функция монотонно возрастает на всей числовой прямой
2 эта функция ограничена сверху
3 эта функция монотонно убывает на всей числовой прямой
4 эта функция ограничена снизу
5 эта функция чётная
6 эта функция нечётная
7 E(f) = (-бесконечность, + бесконечность)
1. Свойство: "эта функция монотонно возрастает на всей числовой прямой."
Обоснование: Монотонное возрастание означает, что значение функции увеличивается при увеличении аргумента. Для проверки данного свойства необходимо проанализировать изменение функции f(x) = x^3 при изменении аргумента x.
Пусть x1 < x2. Тогда (x1)^3 < (x2)^3. Это означает, что функция f(x) не монотонно возрастает на всей числовой прямой, так как для некоторых значения аргумента x значение функции f(x) может убывать.
2. Свойство: "эта функция ограничена сверху."
Обоснование: Функция f(x) = x^3 не имеет верхней границы. Это можно показать, рассмотрев предел функции при x стремящемся к плюс бесконечности. Предел x^3 при x стремящемся к плюс бесконечности также будет плюс бесконечностью, что означает, что функция f(x) не ограничена сверху.
3. Свойство: "эта функция монотонно убывает на всей числовой прямой."
Обоснование: Монотонное убывание означает, что значение функции уменьшается при увеличении аргумента. Пусть x1 < x2. Тогда (x1)^3 > (x2)^3. Это означает, что функция f(x) не монотонно убывает на всей числовой прямой, так как для некоторых значения аргумента x значение функции f(x) может возрастать.
4. Свойство: "эта функция ограничена снизу."
Обоснование: Функция f(x) = x^3 не имеет нижней границы. Аргумент x может быть любым числом, включая отрицательные значения, и при возведении в куб его значение будет положительным или равным нулю. Значит, функция f(x) не ограничена снизу.
5. Свойство: "эта функция чётная."
Обоснование: Функция называется чётной, если f(-x) = f(x) для любого x из множества определения функции. Проверим это для функции f(x) = x^3.
f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)
Значение функции при отрицательном аргументе отличается от значения при положительном аргументе, т.е. f(-x) ≠ f(x). Таким образом, функция f(x) = x^3 не является чётной.
6. Свойство: "эта функция нечётная."
Обоснование: Функция называется нечётной, если f(-x) = -f(x) для любого x из множества определения функции. Проверим это для функции f(x) = x^3.
f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)
Значение функции при отрицательном аргументе совпадает с противоположным значением при положительном аргументе, т.е. f(-x) = -f(x). Таким образом, функция f(x) = x^3 является нечётной.
7. Свойство: "E(f) = (-бесконечность, + бесконечность)"
Обоснование: E(f) - множество значений, которые принимает функция f(x). Для функции f(x) = x^3 это множество будет равно (-бесконечность, + бесконечность), так как значение функции при любом аргументе может принимать любое значение отрицательное или положительное число, включая плюс или минус бесконечность.
Итак, верные свойства функции f(x) = x^3:
- эта функция не монотонно возрастает на всей числовой прямой
- эта функция не ограничена сверху
- эта функция не монотонно убывает на всей числовой прямой
- эта функция не ограничена снизу
- эта функция нечётная
- E(f) = (-бесконечность, + бесконечность)