Задачи на оптимизацию.
Для воды на садовом участке из толстых листов металла надо изготовить закрытую ёмкость объёмом 9/8 м3 в форме прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого отличаются друг от друга в 2 раза. Каковы должны быть измерения этого бака, чтобы на его изготовления ушло наименьшее количество металла?

Пусть стороны a, b, c

a : b = 1 : 2

b = 2a

по условию:

a * 2a * c = 72

a²c = 36

Площадь полной поверхности:

2(a*2a + a*c + 2a * c) = 2(2a² + 3ac) = 4a² + 6ac - минимально

найдем условные экстремумы:

L = 4a² + 6ac + l*(a²c - 36)

{ l'(a) = 8a + 6c + 2ac*l = 0

{ l'(c) = 6a + a²*l = 0

{ a²c - 36 = 0

{c = 36/a²

{8a + 216/a² + 72l/a = 0 |*a²

{l = -6/a

{c = 36/a²

{l = -6/a

{8a³ + 216 - 432 = 0

{a³ = 27; a = 3

{c = 36/9 = 4

{l = -1,5

S = 4*9 + 6*12 = 108 - минимально

ответ: 3 м  и 6 м - измерения основания, 4 м - высота