Чтобы найти наибольшее значение функции y=x/64+x^2 на луче [0;+∞), нам нужно найти точку, в которой значение функции достигает максимума. Для этого мы ищем стационарные точки функции, то есть точки, где производная функции равна нулю.
Шаг 1: Найдем производную функции y=x/64+x^2. Чтобы это сделать, применим правила дифференцирования:
f'(x) = (1/64) + 2x
Шаг 2: Решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти точки, где производная равна нулю:
(1/64) + 2x = 0
2x = -1/64
x = (-1/64) / 2
x = -1/128
Таким образом, у нас есть одна стационарная точка x = -1/128.
Шаг 3: Найдем значение функции y в этой стационарной точке. Подставим x = -1/128 в исходную функцию:
y=(-1/128)/64+(-1/128)^2
y=-1/8192+1/16384
y=-1/8192+2/32768
y=(2-1)/32768
y=1/32768
Таким образом, значение функции y в стационарной точке x = -1/128 будет равно 1/32768.
Шаг 4: Найдем значение функции y на границе интервала [0;+∞). Подставим x = 0 и проверим значение функции:
y=0/64+0^2
y=0/64+0
y=0
Таким образом, значение функции y на границе интервала [0;+∞) будет равно 0.
Шаг 5: Сравним значения функции y в стационарной точке и на границе интервала, чтобы найти наибольшее значение. Сравним 1/32768 и 0. Очевидно, что 1/32768 больше 0.
Таким образом, наибольшее значение функции y=x/64+x^2 на луче [0;+∞) равно 1/32768.
Шаг 1: Найдем производную функции y=x/64+x^2. Чтобы это сделать, применим правила дифференцирования:
f'(x) = (1/64) + 2x
Шаг 2: Решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти точки, где производная равна нулю:
(1/64) + 2x = 0
2x = -1/64
x = (-1/64) / 2
x = -1/128
Таким образом, у нас есть одна стационарная точка x = -1/128.
Шаг 3: Найдем значение функции y в этой стационарной точке. Подставим x = -1/128 в исходную функцию:
y=(-1/128)/64+(-1/128)^2
y=-1/8192+1/16384
y=-1/8192+2/32768
y=(2-1)/32768
y=1/32768
Таким образом, значение функции y в стационарной точке x = -1/128 будет равно 1/32768.
Шаг 4: Найдем значение функции y на границе интервала [0;+∞). Подставим x = 0 и проверим значение функции:
y=0/64+0^2
y=0/64+0
y=0
Таким образом, значение функции y на границе интервала [0;+∞) будет равно 0.
Шаг 5: Сравним значения функции y в стационарной точке и на границе интервала, чтобы найти наибольшее значение. Сравним 1/32768 и 0. Очевидно, что 1/32768 больше 0.
Таким образом, наибольшее значение функции y=x/64+x^2 на луче [0;+∞) равно 1/32768.
Стационарные точки функции: x = -1/128.