Вычислить значение бинома: (3/4a+1/3b)^4

Чтобы вычислить значение бинома (3/4a+1/3b)^4, нам необходимо применить формулу бинома Ньютона. Формула известна как формула степени бинома и выглядит следующим образом:

(a+b)^n = C(n,0)a^n*b^0 + C(n,1)a^(n-1)*b^1 + C(n,2)a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n)a^0*b^n

где C(n,k) обозначает число сочетаний из n элементов по k.

Применяя эту формулу, мы получаем:

(3/4a+1/3b)^4 = C(4,0)(3/4a)^4*(1/3b)^0 + C(4,1)(3/4a)^3*(1/3b)^1 + C(4,2)(3/4a)^2*(1/3b)^2 + C(4,3)(3/4a)^1*(1/3b)^3 + C(4,4)(3/4a)^0*(1/3b)^4

Теперь давайте вычислим каждое слагаемое в этом разложении по очереди.

1. Слагаемое с C(4,0):
C(4,0)(3/4a)^4*(1/3b)^0 = 1*(3/4a)^4*1
= (81/256)*(1/a^4)

2. Слагаемое с C(4,1):
C(4,1)(3/4a)^3*(1/3b)^1 = 4*(3/4a)^3*(1/3b)
= 4*(27/64)*(1/a^3)*(1/3b)
= (27/16)*(1/a^3)*(1/3b)
= 9/(16a^3b)

3. Слагаемое с C(4,2):
C(4,2)(3/4a)^2*(1/3b)^2 = 6*(3/4a)^2*(1/3b)^2
= 6*(9/16)*(1/a^2)*(1/9b^2)
= (27/8)*(1/a^2)*(1/b^2)
= 27/(8a^2b^2)

4. Слагаемое с C(4,3):
C(4,3)(3/4a)^1*(1/3b)^3 = 4*(3/4a)^1*(1/3b)^3
= 4*(3/4a)*(1/27b^3)
= (3/3)*(1/4a)*(1/b^3)
= 1/(4ab^3)

5. Слагаемое с C(4,4):
C(4,4)(3/4a)^0*(1/3b)^4 = 1*(1/3b)^4
= (1/81)*(1/b^4)

Итак, после вычисления каждого слагаемого, мы можем записать полный ответ:

(3/4a+1/3b)^4 = (81/256)*(1/a^4) + 9/(16a^3b) + 27/(8a^2b^2) + 1/(4ab^3) + (1/81)*(1/b^4)

Таким образом, это и есть окончательный ответ по заданному вопросу.