Для решения этой задачи, мы должны использовать определение первообразной и знание фактов о ее свойствах.
Первообразная функции f(x) - это функция F(x), которая производная от которой равна заданной функции f(x). Мы будем решать задачу, используя данное определение первообразной.
Шаг 1: Найдем первообразную функции f(x)
Для этого проинтегрируем функцию f(x), используя интеграл от f(x) по переменной x:
∫(3-2x) dx
Для интегрирования данной функции, мы должны использовать правило интегрирования для каждого из слагаемых (3 и -2x):
Получили общую форму первообразной функции f(x): F(x) = -x² + 3x + C.
Шаг 2: Найдем наибольшее значение первообразной на отрезке [2;4]
Мы знаем, что наибольшее значение первообразной на отрезке [2;4] равно 3. Запишем это как неравенство:
F(x) ≤ 3.
Подставим общую форму первообразной в неравенство:
-x² + 3x + C ≤ 3.
Так как нам нужно найти наименьшее значение первообразной, то можем проигнорировать постоянную интегрирования C на данный момент.
-x² + 3x ≤ 3.
Шаг 3: Решим неравенство
Перепишем неравенство в стандартной форме:
x² - 3x + 3 ≥ 0.
Воспользуемся квадратным трехчленом, чтобы решить данное неравенство:
D = (-3)² - 4 * 1 * 3 = 9 - 12 = -3.
Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет решений в действительных числах. Следовательно, неравенство x² - 3x + 3 ≥ 0 выполняется для всех значений x.
Шаг 4: Найдем наименьшее значение первообразной на отрезке [2;4]
Так как неравенство выполняется для всех значений x на отрезке [2;4], то наименьшее значение первообразной равно наименьшему значению функции на этом отрезке.
Для нашей функции F(x) = -x² + 3x + C наименьшее значение достигается при x=4:
F(4) = -(4)² + 3(4) + C = -16 + 12 + C = -4 + C.
Таким образом, наименьшее значение первообразной на отрезке [2;4] равно -4 + C, где C - постоянная интегрирования.
Первообразная функции f(x) - это функция F(x), которая производная от которой равна заданной функции f(x). Мы будем решать задачу, используя данное определение первообразной.
Шаг 1: Найдем первообразную функции f(x)
Для этого проинтегрируем функцию f(x), используя интеграл от f(x) по переменной x:
∫(3-2x) dx
Для интегрирования данной функции, мы должны использовать правило интегрирования для каждого из слагаемых (3 и -2x):
∫3 dx = 3x + C₁, где C₁ - постоянная интегрирования
∫(-2x) dx = -x² + C₂, где C₂ - постоянная интегрирования
Теперь, объединим оба интеграла:
∫(3-2x) dx = ∫3 dx - ∫2x dx = 3x + C₁ - x² + C₂ = -x² + 3x + C, где C = C₁ + C₂ - общая постоянная интегрирования.
Получили общую форму первообразной функции f(x): F(x) = -x² + 3x + C.
Шаг 2: Найдем наибольшее значение первообразной на отрезке [2;4]
Мы знаем, что наибольшее значение первообразной на отрезке [2;4] равно 3. Запишем это как неравенство:
F(x) ≤ 3.
Подставим общую форму первообразной в неравенство:
-x² + 3x + C ≤ 3.
Так как нам нужно найти наименьшее значение первообразной, то можем проигнорировать постоянную интегрирования C на данный момент.
-x² + 3x ≤ 3.
Шаг 3: Решим неравенство
Перепишем неравенство в стандартной форме:
x² - 3x + 3 ≥ 0.
Воспользуемся квадратным трехчленом, чтобы решить данное неравенство:
D = (-3)² - 4 * 1 * 3 = 9 - 12 = -3.
Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет решений в действительных числах. Следовательно, неравенство x² - 3x + 3 ≥ 0 выполняется для всех значений x.
Шаг 4: Найдем наименьшее значение первообразной на отрезке [2;4]
Так как неравенство выполняется для всех значений x на отрезке [2;4], то наименьшее значение первообразной равно наименьшему значению функции на этом отрезке.
Для нашей функции F(x) = -x² + 3x + C наименьшее значение достигается при x=4:
F(4) = -(4)² + 3(4) + C = -16 + 12 + C = -4 + C.
Таким образом, наименьшее значение первообразной на отрезке [2;4] равно -4 + C, где C - постоянная интегрирования.