Определите значения c, при которых прямая y=c имеет с графиком одну общую точку y=(x4−41x2+400) / (x−5)⋅(x+4)

y = (x^4 - 41x^2 + 400)/(x - 5)(x + 4)

разложим числитель на множители x^4 - 41x^2 + 400

x^2 = t

t^2 - 41t + 400 = 0

D = 41^2 - 4*400 = 1681 - 1600 = 81

t12 = (41 +- 9)/2 = 25   16

(t - 16)(t - 25) = 0

обратная замена

(x^2 - 16)(x^2 - 25) = (x - 4)(x + 4)(x - 5)(x + 5)

y = (x^4 - 41x^2 + 400)/(x - 5)(x + 4) = (x - 4)(x + 4)(x - 5)(x + 5)/(x - 5)(x + 4) = (x - 4)(x + 5)

получили "выколотые точки" x = -4  x = 5, в которых функция не определена

y =   (x - 4)(x + 5)  = x^2 - 4x + 5x - 20  = x^2 + x - 20

это парабола

ветви вверх - при x^2 стоит положительное число

вершина параболы y = ax^2 + bx + c  

x(верш) = -b/2a

вершина параболы y = x^2 + x - 20

x(верш) = -b/2a = -1/2

y(верш) = (-1/2)^2 - 1/2 - 20 = 1/4 - 1/2 - 20 = - 20 1/4

теперь смотрим прямую y = c

ниже -20 1/4 нет пересечений

одна точка вершина y = - 20 1/4

и далее через ветви параболы по две точки - только вспомним про "выколотые точки"

х = -4

y = (-4)^2 - 4 - 20 = 16 - 24 = -8

x = 5

y = 5^2 + 5 - 20 = 25 - 15 = 10

итак имеет с графиком одну точку c = {-20 1/4, -8, 10}