Сумма трех чисел, которые создают геометрическую прогрессию, равняется 65. Если от меньшего отнять единицу, а от большего 19, то полученные числа создадут арифметическую прогрессию. Найти эти числа.

Объяснение:

Члены геометрической прогрессии в₁, в₁q , в₁q².

Сумма в₁ +в₁q +в₁q² =65.

Члены арифметической прогрессии (в₁-1), в₁q , (в₁q²-19) , по свойству ар.прогрессии в₁q =0,5(в₁-1+в₁q²-19)

2в₁q =в₁-1+в₁q²-19,

в₁+в₁q²-20-2в₁q =0

в₁-2в₁q+в₁q² =20

Получили систему

в₁ +в₁q +в₁q² =65,          в₁(1 +q +q² )=65.

в₁ -2в₁q+в₁q² =20           в₁(1 -2q+q² )=20 Разделим первое на второе и используем основное свойство пропорции

65(1 -2q+q² )=20(1 +q +q² )

65-130q+65q²=20+20q+20q²

45q²-150q+45=0

3q²-10q+3=0 ,Д=100-36=64 ,q₁=1/3 , q₂=3

Найдем  в₁,  

1)в₁(1 +q +q² )=65, в₁(1 +1/3 +1/9 )=65, в₁=45

2) в₁(1 +q +q² )=65., в₁(1 +3 +9 )=65, в₁=5

Тогда эти числа такие

1) 45, 45*1/3 , 45*(1/9)  или 45,15,5.

2) 5 ,5*3 ,5*9     или  5,15,45.