Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке, нам нужно сначала найти критические точки и точки экстремума на этом промежутке.
1️⃣ Шаг: Найдем производную функции f(x).
Для нахождения критических точек (точек, где производная равна нулю или не существует), нужно приравнять производную функции к нулю.
1️⃣ Шаг: Найдем производную функции f(x).
Для нахождения критических точек (точек, где производная равна нулю или не существует), нужно приравнять производную функции к нулю.
f'(x) = (2x) - (4/x^2)
Приравниваем производную к нулю:
(2x) - (4/x^2) = 0
2️⃣ Шаг: Решим это уравнение.
Умножим оба выражения на x^2, чтобы избавиться от дроби:
2x^3 - 4 = 0
2x^3 = 4
x^3 = 2
x = ∛2
3️⃣ Шаг: Найдем вторую производную функции f(x).
f''(x) = 2 + (8/x^3)
4️⃣ Шаг: Исследуем точки экстремума.
Подставим найденные точки во вторую производную функции f(x) и определим их характеристики:
а) x = -4:
f''(-4) = 2 + (8/(-4)^3) = 2 - (8/(-64)) = 2 + 1/8 = 2 + 0.125 = 2.125 > 0
Знак второй производной положительный, значит, точка является минимумом.
б) x = -1:
f''(-1) = 2 + (8/(-1)^3) = 2 - 8 = -6 < 0
Знак второй производной отрицательный, значит, точка является максимумом.
5️⃣ Шаг: Найдем значения функции в найденных точках.
f(-4) = (-4)^2 + 4/(-4) = 16 - 1 = 15
f(-1) = (-1)^2 + 4/(-1) = 1 - 4 = -3
Таким образом, на промежутке [-4;-1] наибольшее значение функции f(x) равно 15, а наименьшее значение равно -3.