При каких значениях параметра a уравнение |x−1|=ax имеет ровно один корень?

a ∈ (-oo; -1) U {0} U (1; +oo)

Объяснение:

1) При x < 1 будет |x - 1| = 1 - x

1 - x = ax

1 = ax + x

x = 1/(a+1) < 1

При a = -1 корней нет. При всех других а проверяем неравенство

1/(a+1) - 1 < 0

(1-a-1)/(a+1) < 0

-a/(a+1) < 0

a/(a+1) > 0

a ∈ (-oo; -1) U (0; +oo)

2) При x = 1 будет

|1 - 1| = a*1

a = 0

Подходит, потому что корень только один: x = 1

3) При x > 1 будет |x - 1| = x - 1

x - 1 = ax

x - ax = 1

x = 1/(1-a)

При а = 1 корней нет.

При всех других а проверяем неравенство

1/(1-a) - 1 > 0

(1-1+a)/(1-a) > 0

a/(1-a) > 0

a/(a-1) < 0

a ∈ (0; 1)

Получаем a1 ∈ (-oo; -1) U (0; +oo); a2 ∈ (0; 1)

Промежуток а2 вырезается из промежутков а1.

ответ: a ∈ (-oo; -1) U {0} U (1; +oo)