Вгороде проживает n+1 человек. один из них, узнав - вопрос №104661741 от DuRaDoN2017 06.06.2021 05:29

Question

Алгебра: Вгороде проживает n+1 человек. один из них, узнав новость, сообщает её другому, тот - третьему и т.д, причем передача новости осуществляется таким образом: человек, которому сообщена новость, случайным образом выбирает одного из n жителей и сообщает ему, тот поступает так же и так далее. найти вероятность того, что новость будет передана n раз без повторного сообщения её кому-нибудь. →с применением формул, подробным описанием

DuRaDoN2017 · Answer

Давайте для начала формализуем условие. У насть есть вероятностное простравнство Ω. Что такое в нём исход? Исход - это как раз передача сообщения n раз. Исход можно закодировать последовательностью n+1 чисел. Каждое число в последовательности обозначает жителя, а следующее жителя которому будет передано сообщение. Получаем, что:

$\Omega = \{ (a_1,a_2,\ldots,a_{n+1}) \,\, | \, \, a_i \neq a_{i+1} \}$

Из условия следует, что каждый исход равновероятен. $P(\omega) = \frac{1}{n^n}.$

Теперь посчитаем вероятность, что новость будет передана n раз без повторного сообщения её кому-нибудь. Обозначим это событие как A. Заметим, что каждый благоприятный исход (лежит в А) представляет собой перестановку (n+1)-го чисел. Всего таких перестановок (n+1)! . Теперь можно считать вероятность:

$P(A) = \sum_{\omega \in A} P(\omega) = \frac{|A|}{n^n} = \frac{(n+1)!}{n^n}$