исследовать функцию y=x^2+9/x дифференциального исчисления и построить ее график.

ДАНО:  Y = (x²+9)/x

Исследование.

1. Область определения: D(y)= (-∞;0)∪(0;+∞).

Не допускаем деления на 0 в знаменателе.

2.Поведение в точке разрыва. LimY(0-)= -∞, LimY(0+)= +∞. Вертикальная асимптота - х = 0.  

Неустранимый разрыв II-го рода.

3. Поведение на бесконечности - наклонная асимптота.  

k = lim(+∞)Y(х)/x = (х²+9)/x² = 1 - коэффициент наклона.

b = 9/x = 0 - наклонная асимптота  y = x.  

4. Нули функции, пересечение с осью ОХ. Y(x) = 0 - нет.

5. Пересечение с осью ОУ. Y(0) - нет

6. Интервалы знакопостоянства.  

Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;0). Положительна: Y>0 - X∈(0;+∞;)

7. Проверка на чётность.

Функция  нечётная: Y(-x) = -Y(x).

8. Поиск экстремумов по первой производной.    

y'(x) = 2 - (х²+9)/х² = (x²-9)/х² = 0.

Корни уравнения.  х = ±√9 = ± 3.

9. Локальные максимумы.

Минимум:  Y(3) = 6.5,  Максимум: Y(-3) = -6.5

10. Интервалы монотонности.  

Возрастает: X∈(-∞;-3)∪(3;+∞)

Убывает: Х∈(-3;0)∪(0;3)

1. Поиск перегибов по второй производной.  

y''(x) = 2/x - 2*(x²-9)/x³ = 18/x³ = 0.

Корней нет.

Точки перегиба нет, кроме  точки разрыва при Х = 0.    

12. Выпуклая - 'горка' - X∈(-∞;0). Вогнутая - 'ложка'- X∈(0;+∞;).

13. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).  

14. График функции на рисунке в приложении.

Красота.