А) Чтобы найти область определения функции y = ctg(5x), нужно понять, при каких значениях переменной х функция определена.
Тангенс ctg(θ) определен, когда котангенс имеет значение, отличное от нуля. Котангенс равен 1/tan(θ), и следовательно, он определен, когда тангенс не равен нулю.
Так как тангенс равен sin(θ)/cos(θ), то функция ctg(θ) будет определена только в тех точках, где косинус не равен нулю. А косинус не равен нулю, за исключением точек, где cos(θ) = 0.
Косинус равен нулю в точках, когда угол θ равен (2n + 1) * π/2, где n - любое целое число. Таким образом, функция ctg(θ) не определена, когда θ = (2n + 1) * π/2.
В нашем случае у нас функция y = ctg(5x), поэтому нам нужно найти область определения для 5x. Для этого мы решим уравнение 5x = (2n + 1) * π/2, где n - любое целое число.
5x = (2n + 1) * π/2
x = (2n + 1) * π/10
Область определения функции y = ctg(5x) состоит из всех x, которые можно записать в виде (2n + 1) * π/10, где n - любое целое число. Это даёт нам следующую область определения:
D = {(2n + 1) * π/10 | n ∈ Z}
Б) Чтобы найти наименьший положительный период функции y = ctg(5x), нужно найти значение T, для которого выполнено ctg(5x) = ctg(5(x + T)) для любого x.
Используя тригонометрическое тождество ctg(θ) = ctg(θ + π), мы можем выразить это как ctg(5x) = ctg(5(x + T)). Это верно, когда аргументы котангенсов отличаются на целое число кратное π.
5x = 5(x + T) + n * π
5x = 5x + 5T + n * π
5T + n * π = 0
В этом уравнении могут быть решения только тогда, когда 5T = 0 и n * π = 0. Так как мы ищем наименьшее положительное значение T, то нам нужно найти значение, которое сделает 5T = 2π или T = 2π/5.
Итак, наименьший положительный период функции y = ctg(5x) равен T = 2π/5.
Тангенс ctg(θ) определен, когда котангенс имеет значение, отличное от нуля. Котангенс равен 1/tan(θ), и следовательно, он определен, когда тангенс не равен нулю.
Так как тангенс равен sin(θ)/cos(θ), то функция ctg(θ) будет определена только в тех точках, где косинус не равен нулю. А косинус не равен нулю, за исключением точек, где cos(θ) = 0.
Косинус равен нулю в точках, когда угол θ равен (2n + 1) * π/2, где n - любое целое число. Таким образом, функция ctg(θ) не определена, когда θ = (2n + 1) * π/2.
В нашем случае у нас функция y = ctg(5x), поэтому нам нужно найти область определения для 5x. Для этого мы решим уравнение 5x = (2n + 1) * π/2, где n - любое целое число.
5x = (2n + 1) * π/2
x = (2n + 1) * π/10
Область определения функции y = ctg(5x) состоит из всех x, которые можно записать в виде (2n + 1) * π/10, где n - любое целое число. Это даёт нам следующую область определения:
D = {(2n + 1) * π/10 | n ∈ Z}
Б) Чтобы найти наименьший положительный период функции y = ctg(5x), нужно найти значение T, для которого выполнено ctg(5x) = ctg(5(x + T)) для любого x.
Используя тригонометрическое тождество ctg(θ) = ctg(θ + π), мы можем выразить это как ctg(5x) = ctg(5(x + T)). Это верно, когда аргументы котангенсов отличаются на целое число кратное π.
5x = 5(x + T) + n * π
5x = 5x + 5T + n * π
5T + n * π = 0
В этом уравнении могут быть решения только тогда, когда 5T = 0 и n * π = 0. Так как мы ищем наименьшее положительное значение T, то нам нужно найти значение, которое сделает 5T = 2π или T = 2π/5.
Итак, наименьший положительный период функции y = ctg(5x) равен T = 2π/5.